野地裡的百合花，為何長的這麼美？
上帝曾將自己比喻為「谷中的百合花」（the lily of the valley）（雅歌二1）。
這句應許，可能是上帝留給走在生命幽谷中的人。
多少時候，人以為道路順暢就是上帝同行的證明，飛黃騰達就是上帝眷顧的表徵；
但是上帝從來沒有說祂是平坦道路邊，或是宮殿花園裡的百合花。
反而說祂是留在谷中，鼓勵受傷、疲憊、失望者重新得力，繼續前行的百合花。
上帝所賜的裝扮
這是何等有意思的比喻，為什麼在跟隨上帝的路上，會有幽谷呢？走平順的通路不是更好嗎？
但是我們愈認識上帝的創造，就愈認識山谷是世界上最美麗的地方。
而且許多一流的登山勇士，都是經過許多大小山谷，訓練出來的。
走過人生的低谷，似乎是上帝學校的必修課之一。不過走累了，上帝鼓舞我們繼續向前。
耶穌說：「你想野地裡的百合花，怎麼長起來，它不勞苦，也不紡線，然而我告訴們，
就是所羅門極榮華的時候，他所穿戴的，還不如這花一朵呢。」（馬太福音六28～29）。何等的安慰與鼓舞：
百合花的美，是上帝給的裝扮；所羅門王的富有，是人為的添加，在上帝的眼光中，後者不如前者。
第一個研究百合花之美的人
近代的科學，對百合花有許多的研究，在1869年，一位科學家亨瑞契（Gustarvis Hinrichs, 1836~1923）
以「野地的百合花」作為研究發表的論文。
有趣的是，他在這一篇研究報告，一開始就引用聖經寫道：「看啊，所羅門最榮耀的時候，他的榮耀還比不上這朵小花」。
然後，用數學去證明百合花的美。
亨瑞契是德國人，在學生時代就擅長數學，後來用數學分析物理、化學與生物的問題，這成為他的專長。
1860年，他取得丹麥的哥本哈根大學物理系博士，當時德國鐵血宰相俾斯麥的領導下，正將德國整合成一個強大的國家，而且四處打仗。
亨瑞契厭惡祖國成為好戰強國，深感在強權之下，百姓只有完全服從領導人的思考方式，完全沒有自己思考的空間。
1861年，他前往美國，沒想到美國打起南北戰爭，不久聽到一所剛成立的大學在徵聘教師。
前言
1847年，在美國東部的平原上，有幾個拓荒者，感謝上帝賜給他們豐收玉米的一年。
他們在橡樹下圍在一起禱告：「願主賜給我們智慧，給我們最好的教育──使孩子們成為對眾人有幫助的人。」
他們每一個人捐出美金5元，準備在這裡成立一所大學。
以後持續的捐款，1855年，終於通過申請，沒想到當年物價上漲，經費不足無法蓋校舍，只好暫時關閉。
直到1862年，在州政府的資助下，大學才開辦，徵聘教師。
從此，這所成立在一片農田中的大學，成為著名科學教育的所在，是許多學生嚮往的──愛荷華州立大學（The State University of Iowa）。
將自然科學引入農業區
亨瑞契成為這所大學的第一位老師。
他一上任就大刀闊斧的將大學第一棟教室的一樓，通通建為物理與化學實驗室。
他的口號是：「學生在實驗室裡學一天，超過在課本邊唸七天。」
他特別注重科學教育，自己也發表了許多傑出的研究報告。
例，在1864年，他提出化學元素之間有一道隱藏的關係，他用元素的原子量排出一個週期表，
他稱這是科學裡「八音部的旋律」（octuple rhythm）。
1868年，他以數學分析礦物結晶形狀，並且成立愛荷華州第一間的地質調查局，兼任局長；
1875年，他以數學分析氣象變化，又成立美國第一間氣象局，他又身兼局長。
高等教育的思維
亨瑞契不只在科學上有成就，對近代的大學教育也有深遠的影響。
他知道愛荷華州立大學是一群基督徒出錢成立的，也知道成立大學是來自對上帝的一個禱告。
但是他看到德國成立時追求一致性，以致產生少數人統御全民的想法。
他認為要培育美國菁英的一代，必須讓大學有多樣的文化與思想，讓學生去學習判斷、辯論思索，並據理力爭。
他聘非基督徒，聘猶太人、聘無神論的人作教授，1878年更聘女性教育家蘇羅（Phoebe Sudlow）作文學系教授。
蘇羅是美國第一位女性教授，而且她的薪水與新任的男教授相同。
他提出在一個真正有信仰的地方，就應接納不同信仰的人，或與沒有信仰的人相處。
而這相處、共事，不代表自己對信仰的妥協，反而是信心的挑戰。
他提出一個口號：「合作但不妥協」，他寫道：「我們很容易用傳統慣性思考，以致淪為僵化的思維。
智慧是來自思考的更新，不斷接受新思維的挑戰。」
大自然美的法則
他用眾人熟悉的百合花，以數學分析百合花花瓣是在正六角形的對角線上，並呈現60°的夾角。
而這角度與雪花的結構，稱雪花是「空中的百合花」。
他寫道：「隱藏的法則，明明寫在百合花的造型上，百合花的美使人接近，愈看愈美……大自然不祇悅人眼目，
即使在微小之處，仍有數不盡的豐富。」
花朵的奇妙設計
現在我們知道，光是百合花就有許多的奇妙之處。
例如百合花中含有一種化學成份，對於老人失智症可能有醫治的功效。
此外，每一朵百合花中約有1000顆的種子，百合花要依賴昆蟲與蜜蜂前來授粉，光是吸引昆蟲前來，百合花就有許多非常有趣的現象。
1.百合花會保持自己花的溫度，與採蜜昆蟲的體溫相同，約35℃，當花朵的溫度與昆蟲的體溫一致時，昆蟲在花朵採蜜時，不會特別冷，也不會特別熱。
2.百合花的花瓣能反射紫外光，讓遠處的昆蟲看見前來。
3.百合花的花裡，有蜜腺，吸引昆蟲前來採蜜，花粉就藉此黏在昆蟲身上。
4.百合花的蜜會自動水化掉，免得一隻昆蟲吸太多的蜜，反而減少不同花朵傳粉的功效，百合花又再分泌蜜，使不同隻的昆蟲又前來。
5.不同種的昆蟲受吸引的味道不同，不同種的百合花，所散發出來的香味，都稍有不同，沒有一種百合花會放出吸引所有昆蟲的香味，也沒有一種百合花放出來的香味，完全吸引不到一種昆蟲。
6.百合花上午剛開花的時候，花朵向下垂，讓帶著花粉的雄蕊儘量向前伸，使昆蟲容易看到；但是到了下午，昆蟲不採蜜的時候，花朵轉而朝上，使沾在柱頭上的花粉，順勢沿著花柱，進入子房，增加結實的機會。
何等的奇妙，一朵百合花竟然有這麼複雜的機制，使百合花的種子，一代一代的傳下去，而且傳到世界各處去。
耶穌說：「你們這小信的人哪！野地裏的草今天還在，明天就丟在爐裏，神還給它這樣的妝飾，何況你們呢！
所以，不要憂慮說，吃甚麼？喝甚麼？穿甚麼？這都是外邦人所求的，你們需用的這一切東西，你們的天父是知道的。
你們要先求祂的國和祂的義，這些東西都要加給你們了。所以，不要為明天憂慮，因為明天自有明天的憂慮；一天的難處一天當就夠了。」
（馬太福音六30～34）。
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植物中的神秘数字 ·方舟子·
扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。
在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物，
据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。
在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。
在中国，梅花有着类似的象征意义。
民间传说梅花五瓣代表着五福。
民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。
但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚，
例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。
常见的花瓣数还有：
3枚，鸢尾花、百合花（看上去6枚，实际上是两套3枚）；
8枚，飞燕草；
13枚，瓜叶菊；
向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；
雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。
为什么花瓣数目不是随机分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...这些数目有什么特殊吗？
它们是斐波纳契数。斐波纳契（1170-1240）是中世纪意大利数学家，他不是在数花瓣数目，
而是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。
假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，
过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。
每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？
在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；
在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；
在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；
在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；
……如此这般计算下去，兔子对数分别是：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...看出规律了吗？
从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。
植物似乎对斐波纳契数着了迷。
不仅花，还有叶、枝条、果实、种子等等形态特征，都可发现斐波纳契数。
叶序是指叶子在茎上的排列方式，最常见的是互生叶序，即在每个节上只生1叶，交互而生。
任意取一个叶子做为起点，向上用线连接各个叶子的着生点，可以发现这是一条螺旋线，盘旋而上，
直到上方另一片叶子的着生点恰好与起点叶的着生点重合，做为终点。
从起点叶到终点叶之间的螺旋线绕茎周数，称为叶序周。
不同种植物的叶序周可能不同，之间的叶数也可能不同。
例如
榆，叶序周为1（即绕茎1周），有2叶；
桑，叶序周为1，有3叶；
桃，叶序周为2，有5叶；
梨，叶序周为3，有8叶；
杏，叶序周为5，有13叶；
松，叶序周为8，有21叶……
用公式表示（绕茎的周数为分子，叶数为分母），分别为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ……
这些是最常见的叶序公式，据估计大约有90％植物属于这类叶序，而它们全都是由斐波纳契数组成的。
你如果观察向日葵的花盘，会发现其种子排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。
再数数这些螺旋线的数目，虽然不同品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是34和55、55和89或89和144，
其中前一个数字是顺时针线数，后一个数字是逆时针线数，
而每组数字都是斐波纳契数列中相邻的两个数。
再看看菠萝、松果上的鳞片排列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是8和13。
有时候这种螺旋线不是那么明显，需要仔细观察才会注意到，例如花菜。
如果你拿一颗花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线，
再数数螺旋线的数目，是不是也是相邻的两个斐波纳契数，
例如顺时针5条，逆时针8条？
掰下一朵小花下来再仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。
为什么植物如此偏爱斐波纳契数？
这和另一个更古老的、早在古希腊就被人们注意到甚至去崇拜它的另外一个“神秘”数字有关。
假定有一个数φ，它有如下有趣的数学关系：
φ^2 - φ^1 -φ^0 =0
即：
φ^2 -φ -1 =0
解这个方程，有两个解：
(1 + √5) / 2 = 1.6180339887...
(1 - √5) / 2 = - 0.6180339887...
注意这两个数的小数部分是完全相同的。
正数解（1.6180339887...）被称为黄金数或黄金比率，通常用φ表示。
黃金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，即：1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1。
这是一个无理数（小数无限不循环，没法用分数来表示），而且是最无理的无理数。
同样是无理数，圆周率π用22/7，自然常数e用19/7, √2用7/5就可以很精确地近似表示出来，
而φ则不可能用分母为个位数的分数做精确的有理近似。
黄金数有一些奇妙的数学性质。
它的倒数恰好等于它的小数部分，也即1/φ = φ-1，有时这个倒数也被称为黄金数、黄金比率。
如果把一条直线AB用C点分割，让AB/AC = AC/CB，那么这个比等于黄金数，C点被称为黄金分割点。
如果一个等腰三角形的顶角是36度，那么它的高与底线的比等于黄金数，这样的三角形称为黄金三角形。
如果一个矩形的长宽比是黄金数，那么从这个矩形切割掉一个边长为其宽的正方形，剩下的小矩形的长宽比还是黄金数。
这样的矩形称为黄金矩形，它可以用上述的方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩形，
而如果把这些黄金矩形的对角用弧线连接起来，则形成了一个对数曲线。
常见的报纸、杂志、书、纸张、身份证、信用卡用的形状都接近于黄金矩形，据说这种形状让人看上去很舒服。
的确，在我们的生活中，黄金数无处不在，建筑、艺术品、日常用品在设计上都喜欢用到它，因为它让我们感到美与和谐。
那么黄金数究竟和斐波纳契数有什么关系呢？
根据上面的方程：φ^2 -φ -1 =0，可得：
φ = 1 + 1/φ
= 1 + 1/ (1 + 1/φ)
= ...
= 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +...)))
根据上面的公式，你可以用计算器如此计算φ：
输入1，取倒数，加1，和取倒数，加1，和取倒数，……，你会发现总和越来越接近φ。
让我们用分数和小数来表示上面的逼近步骤：
φ ≈ 1
φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2
φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 1.5
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+1)) = 5/3 = 1.666667
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/5 = 1.6
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1.625
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+1))))) = 21/13 = 1.615385
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1)))))) = 34/21 = 1.619048
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1))))))) = 55/34 = 1.617647
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))) = 89/55 = 1.618182
...
发现了没有？以上分数的分子、分母都是相邻的斐波纳契数。
原来相邻两个斐波纳契数的比近似等于φ，数目越大，则越接近，当无穷大时，其比就等于φ。
斐波纳契数与黄金数是密切联系在一起的。
植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金数。
这是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想让世界充满了美与和谐？
植物的枝条、叶子和花瓣有相同的起源，都是从茎尖的分生组织依次出芽、分化而来的。
新芽生长的方向与前面一个芽的方向不同，旋转了一个固定的角度。
如果要充分地利用生长空间，新芽的生长方向应该与旧芽离得尽可能的远。
那么这个最佳角度是多少呢？
我们可以把这个角度写成360°× n，其中0＜n ＜1，由于左右
各有一个角度是一样的（只是旋转的方向不同），例如n=0.4和n=0.6实际上结果相
同，因此我们只需考虑 0.5≤n＜1的情况。
如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即n = 0.5 =1/2，
但是这样的话第2个新芽与旧芽同方向，第3个新芽与第1个新芽同方向，……，
也就是说，仅绕1周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。
如果0.6 = 3/5 呢？绕3周就出现重叠，而且总共也只有5个方向。
事实上，如果n是个真分数 p/q，则意味着绕p周就出现重叠，共有q个生长方向。
显然，如果n是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。
选什么样的无理数呢？
圆周率π、自然常数e和√2都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与1/7, 5/7和2/5非常接近，
也就是分别绕1, 5和2周就出现重叠，分别总共只有7, 7和5个方向。
结论是，越是无理的无理数越好，越“有理”。
我们在前面已经提到，最无理的无理数，就是黄金数φ≈1.618。
也就是说，n的最佳值≈0.618，即新芽的最佳旋转角度大约是360°× 0.618 ≈ 222.5°或 137.5°。
前面已提到，最常见的叶序为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21，表示的是相邻两叶所成的角度（称为开度），
如果我们要把它们换算成n（表示每片叶子最多绕多少周），只需用1减去开度，为1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21。
它们是相邻两个斐波纳契数的比值，是不同程度地逼近1/φ。
在这种情形下，植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。
对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部；
对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传粉；
而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。
这一切，对植物的生长、繁殖都是大有好处的。
可见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。
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2014年7月1日 星期二
野地裡的百合花(lily鈴蘭)
野地裡的百合花，為何長的這麼美？
上帝曾將自己比喻為「谷中的百合花」（the lily of the valley）（雅歌二1）。
這句應許，可能是上帝留給走在生命幽谷中的人。
多少時候，人以為道路順暢就是上帝同行的證明，飛黃騰達就是上帝眷顧的表徵；
但是上帝從來沒有說祂是平坦道路邊，或是宮殿花園裡的百合花。
反而說祂是留在谷中，鼓勵受傷、疲憊、失望者重新得力，繼續前行的百合花。
上帝所賜的裝扮
這是何等有意思的比喻，為什麼在跟隨上帝的路上，會有幽谷呢？走平順的通路不是更好嗎？
但是我們愈認識上帝的創造，就愈認識山谷是世界上最美麗的地方。
而且許多一流的登山勇士，都是經過許多大小山谷，訓練出來的。
走過人生的低谷，似乎是上帝學校的必修課之一。不過走累了，上帝鼓舞我們繼續向前。
耶穌說：「你想野地裡的百合花，怎麼長起來，它不勞苦，也不紡線，然而我告訴們，
就是所羅門極榮華的時候，他所穿戴的，還不如這花一朵呢。」（馬太福音六28～29）。何等的安慰與鼓舞：
百合花的美，是上帝給的裝扮；所羅門王的富有，是人為的添加，在上帝的眼光中，後者不如前者。
第一個研究百合花之美的人
近代的科學，對百合花有許多的研究，在1869年，一位科學家亨瑞契（Gustarvis Hinrichs, 1836~1923）
以「野地的百合花」作為研究發表的論文。
有趣的是，他在這一篇研究報告，一開始就引用聖經寫道：「看啊，所羅門最榮耀的時候，他的榮耀還比不上這朵小花」。
然後，用數學去證明百合花的美。
亨瑞契是德國人，在學生時代就擅長數學，後來用數學分析物理、化學與生物的問題，這成為他的專長。
1860年，他取得丹麥的哥本哈根大學物理系博士，當時德國鐵血宰相俾斯麥的領導下，正將德國整合成一個強大的國家，而且四處打仗。
亨瑞契厭惡祖國成為好戰強國，深感在強權之下，百姓只有完全服從領導人的思考方式，完全沒有自己思考的空間。
1861年，他前往美國，沒想到美國打起南北戰爭，不久聽到一所剛成立的大學在徵聘教師。
前言
1847年，在美國東部的平原上，有幾個拓荒者，感謝上帝賜給他們豐收玉米的一年。
他們在橡樹下圍在一起禱告：「願主賜給我們智慧，給我們最好的教育──使孩子們成為對眾人有幫助的人。」
他們每一個人捐出美金5元，準備在這裡成立一所大學。
以後持續的捐款，1855年，終於通過申請，沒想到當年物價上漲，經費不足無法蓋校舍，只好暫時關閉。
直到1862年，在州政府的資助下，大學才開辦，徵聘教師。
從此，這所成立在一片農田中的大學，成為著名科學教育的所在，是許多學生嚮往的──愛荷華州立大學（The State University of Iowa）。
將自然科學引入農業區
亨瑞契成為這所大學的第一位老師。
他一上任就大刀闊斧的將大學第一棟教室的一樓，通通建為物理與化學實驗室。
他的口號是：「學生在實驗室裡學一天，超過在課本邊唸七天。」
他特別注重科學教育，自己也發表了許多傑出的研究報告。
例，在1864年，他提出化學元素之間有一道隱藏的關係，他用元素的原子量排出一個週期表，
他稱這是科學裡「八音部的旋律」（octuple rhythm）。
1868年，他以數學分析礦物結晶形狀，並且成立愛荷華州第一間的地質調查局，兼任局長；
1875年，他以數學分析氣象變化，又成立美國第一間氣象局，他又身兼局長。
高等教育的思維
亨瑞契不只在科學上有成就，對近代的大學教育也有深遠的影響。
他知道愛荷華州立大學是一群基督徒出錢成立的，也知道成立大學是來自對上帝的一個禱告。
但是他看到德國成立時追求一致性，以致產生少數人統御全民的想法。
他認為要培育美國菁英的一代，必須讓大學有多樣的文化與思想，讓學生去學習判斷、辯論思索，並據理力爭。
他聘非基督徒，聘猶太人、聘無神論的人作教授，1878年更聘女性教育家蘇羅（Phoebe Sudlow）作文學系教授。
蘇羅是美國第一位女性教授，而且她的薪水與新任的男教授相同。
他提出在一個真正有信仰的地方，就應接納不同信仰的人，或與沒有信仰的人相處。
而這相處、共事，不代表自己對信仰的妥協，反而是信心的挑戰。
他提出一個口號：「合作但不妥協」，他寫道：「我們很容易用傳統慣性思考，以致淪為僵化的思維。
智慧是來自思考的更新，不斷接受新思維的挑戰。」
大自然美的法則
他用眾人熟悉的百合花，以數學分析百合花花瓣是在正六角形的對角線上，並呈現60°的夾角。
而這角度與雪花的結構，稱雪花是「空中的百合花」。
他寫道：「隱藏的法則，明明寫在百合花的造型上，百合花的美使人接近，愈看愈美……大自然不祇悅人眼目，
即使在微小之處，仍有數不盡的豐富。」
花朵的奇妙設計
現在我們知道，光是百合花就有許多的奇妙之處。
例如百合花中含有一種化學成份，對於老人失智症可能有醫治的功效。
此外，每一朵百合花中約有1000顆的種子，百合花要依賴昆蟲與蜜蜂前來授粉，光是吸引昆蟲前來，百合花就有許多非常有趣的現象。
1.百合花會保持自己花的溫度，與採蜜昆蟲的體溫相同，約35℃，當花朵的溫度與昆蟲的體溫一致時，昆蟲在花朵採蜜時，不會特別冷，也不會特別熱。
2.百合花的花瓣能反射紫外光，讓遠處的昆蟲看見前來。
3.百合花的花裡，有蜜腺，吸引昆蟲前來採蜜，花粉就藉此黏在昆蟲身上。
4.百合花的蜜會自動水化掉，免得一隻昆蟲吸太多的蜜，反而減少不同花朵傳粉的功效，百合花又再分泌蜜，使不同隻的昆蟲又前來。
5.不同種的昆蟲受吸引的味道不同，不同種的百合花，所散發出來的香味，都稍有不同，沒有一種百合花會放出吸引所有昆蟲的香味，也沒有一種百合花放出來的香味，完全吸引不到一種昆蟲。
6.百合花上午剛開花的時候，花朵向下垂，讓帶著花粉的雄蕊儘量向前伸，使昆蟲容易看到；但是到了下午，昆蟲不採蜜的時候，花朵轉而朝上，使沾在柱頭上的花粉，順勢沿著花柱，進入子房，增加結實的機會。
何等的奇妙，一朵百合花竟然有這麼複雜的機制，使百合花的種子，一代一代的傳下去，而且傳到世界各處去。
耶穌說：「你們這小信的人哪！野地裏的草今天還在，明天就丟在爐裏，神還給它這樣的妝飾，何況你們呢！
所以，不要憂慮說，吃甚麼？喝甚麼？穿甚麼？這都是外邦人所求的，你們需用的這一切東西，你們的天父是知道的。
你們要先求祂的國和祂的義，這些東西都要加給你們了。所以，不要為明天憂慮，因為明天自有明天的憂慮；一天的難處一天當就夠了。」
（馬太福音六30～34）。
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植物中的神秘数字 ·方舟子·
扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。
在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物，
据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。
在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。
在中国，梅花有着类似的象征意义。
民间传说梅花五瓣代表着五福。
民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。
但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚，
例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。
常见的花瓣数还有：
3枚，鸢尾花、百合花（看上去6枚，实际上是两套3枚）；
8枚，飞燕草；
13枚，瓜叶菊；
向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚；
雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。
为什么花瓣数目不是随机分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...这些数目有什么特殊吗？
它们是斐波纳契数。斐波纳契（1170-1240）是中世纪意大利数学家，他不是在数花瓣数目，
而是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。
假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，
过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。
每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？
在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；
在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；
在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；
在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；
……如此这般计算下去，兔子对数分别是：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...看出规律了吗？
从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。
植物似乎对斐波纳契数着了迷。
不仅花，还有叶、枝条、果实、种子等等形态特征，都可发现斐波纳契数。
叶序是指叶子在茎上的排列方式，最常见的是互生叶序，即在每个节上只生1叶，交互而生。
任意取一个叶子做为起点，向上用线连接各个叶子的着生点，可以发现这是一条螺旋线，盘旋而上，
直到上方另一片叶子的着生点恰好与起点叶的着生点重合，做为终点。
从起点叶到终点叶之间的螺旋线绕茎周数，称为叶序周。
不同种植物的叶序周可能不同，之间的叶数也可能不同。
例如
榆，叶序周为1（即绕茎1周），有2叶；
桑，叶序周为1，有3叶；
桃，叶序周为2，有5叶；
梨，叶序周为3，有8叶；
杏，叶序周为5，有13叶；
松，叶序周为8，有21叶……
用公式表示（绕茎的周数为分子，叶数为分母），分别为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ……
这些是最常见的叶序公式，据估计大约有90％植物属于这类叶序，而它们全都是由斐波纳契数组成的。
你如果观察向日葵的花盘，会发现其种子排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。
再数数这些螺旋线的数目，虽然不同品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是34和55、55和89或89和144，
其中前一个数字是顺时针线数，后一个数字是逆时针线数，
而每组数字都是斐波纳契数列中相邻的两个数。
再看看菠萝、松果上的鳞片排列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是8和13。
有时候这种螺旋线不是那么明显，需要仔细观察才会注意到，例如花菜。
如果你拿一颗花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线，
再数数螺旋线的数目，是不是也是相邻的两个斐波纳契数，
例如顺时针5条，逆时针8条？
掰下一朵小花下来再仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。
为什么植物如此偏爱斐波纳契数？
这和另一个更古老的、早在古希腊就被人们注意到甚至去崇拜它的另外一个“神秘”数字有关。
假定有一个数φ，它有如下有趣的数学关系：
φ^2 - φ^1 -φ^0 =0
即：
φ^2 -φ -1 =0
解这个方程，有两个解：
(1 + √5) / 2 = 1.6180339887...
(1 - √5) / 2 = - 0.6180339887...
注意这两个数的小数部分是完全相同的。
正数解（1.6180339887...）被称为黄金数或黄金比率，通常用φ表示。
黃金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，即：1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1。
这是一个无理数（小数无限不循环，没法用分数来表示），而且是最无理的无理数。
同样是无理数，圆周率π用22/7，自然常数e用19/7, √2用7/5就可以很精确地近似表示出来，
而φ则不可能用分母为个位数的分数做精确的有理近似。
黄金数有一些奇妙的数学性质。
它的倒数恰好等于它的小数部分，也即1/φ = φ-1，有时这个倒数也被称为黄金数、黄金比率。
如果把一条直线AB用C点分割，让AB/AC = AC/CB，那么这个比等于黄金数，C点被称为黄金分割点。
如果一个等腰三角形的顶角是36度，那么它的高与底线的比等于黄金数，这样的三角形称为黄金三角形。
如果一个矩形的长宽比是黄金数，那么从这个矩形切割掉一个边长为其宽的正方形，剩下的小矩形的长宽比还是黄金数。
这样的矩形称为黄金矩形，它可以用上述的方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩形，
而如果把这些黄金矩形的对角用弧线连接起来，则形成了一个对数曲线。
常见的报纸、杂志、书、纸张、身份证、信用卡用的形状都接近于黄金矩形，据说这种形状让人看上去很舒服。
的确，在我们的生活中，黄金数无处不在，建筑、艺术品、日常用品在设计上都喜欢用到它，因为它让我们感到美与和谐。
那么黄金数究竟和斐波纳契数有什么关系呢？
根据上面的方程：φ^2 -φ -1 =0，可得：
φ = 1 + 1/φ
= 1 + 1/ (1 + 1/φ)
= ...
= 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +...)))
根据上面的公式，你可以用计算器如此计算φ：
输入1，取倒数，加1，和取倒数，加1，和取倒数，……，你会发现总和越来越接近φ。
让我们用分数和小数来表示上面的逼近步骤：
φ ≈ 1
φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2
φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 1.5
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+1)) = 5/3 = 1.666667
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/5 = 1.6
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1.625
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+1))))) = 21/13 = 1.615385
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1)))))) = 34/21 = 1.619048
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1))))))) = 55/34 = 1.617647
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))) = 89/55 = 1.618182
...
发现了没有？以上分数的分子、分母都是相邻的斐波纳契数。
原来相邻两个斐波纳契数的比近似等于φ，数目越大，则越接近，当无穷大时，其比就等于φ。
斐波纳契数与黄金数是密切联系在一起的。
植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金数。
这是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想让世界充满了美与和谐？
植物的枝条、叶子和花瓣有相同的起源，都是从茎尖的分生组织依次出芽、分化而来的。
新芽生长的方向与前面一个芽的方向不同，旋转了一个固定的角度。
如果要充分地利用生长空间，新芽的生长方向应该与旧芽离得尽可能的远。
那么这个最佳角度是多少呢？
我们可以把这个角度写成360°× n，其中0＜n ＜1，由于左右
各有一个角度是一样的（只是旋转的方向不同），例如n=0.4和n=0.6实际上结果相
同，因此我们只需考虑 0.5≤n＜1的情况。
如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即n = 0.5 =1/2，
但是这样的话第2个新芽与旧芽同方向，第3个新芽与第1个新芽同方向，……，
也就是说，仅绕1周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。
如果0.6 = 3/5 呢？绕3周就出现重叠，而且总共也只有5个方向。
事实上，如果n是个真分数 p/q，则意味着绕p周就出现重叠，共有q个生长方向。
显然，如果n是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。
选什么样的无理数呢？
圆周率π、自然常数e和√2都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与1/7, 5/7和2/5非常接近，
也就是分别绕1, 5和2周就出现重叠，分别总共只有7, 7和5个方向。
结论是，越是无理的无理数越好，越“有理”。
我们在前面已经提到，最无理的无理数，就是黄金数φ≈1.618。
也就是说，n的最佳值≈0.618，即新芽的最佳旋转角度大约是360°× 0.618 ≈ 222.5°或 137.5°。
前面已提到，最常见的叶序为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21，表示的是相邻两叶所成的角度（称为开度），
如果我们要把它们换算成n（表示每片叶子最多绕多少周），只需用1减去开度，为1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21。
它们是相邻两个斐波纳契数的比值，是不同程度地逼近1/φ。
在这种情形下，植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。
对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部；
对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传粉；
而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。
这一切，对植物的生长、繁殖都是大有好处的。
可见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。
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