黃金數與x2 – x –1 = 0

數論學家很早就知道，最〔無理〕的無理數就是[黃金數]，它很難以有理數近似。 植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。 对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部； 对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传粉； 对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。 这一切，对植物的生长、繁殖都是大有好处的。 我们可以把这个角度写成360°×n，其中0＜n＜1，由于左右各有一个角度是一样的(转的方向不同)， 例如n=0.4 和n=0.6实际上结果相同，因此我们只需考虑0.5≤n＜1 的情况。 如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即n=0.5=1/2， 但是这样的话第2 个新芽与旧芽同方向， 第3个新芽与第1 个新芽同方向…… 也就是说，仅绕1 周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。 如果n=0.6=3/5呢？绕3 周就出现重叠，而且总共也只有5 个方向。 事实上，如果n是个真分数p/q，则意味着绕p 周就出现重叠，共有q个生长方向。 显然，如果n 是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。 选什么样的无理数呢？ 圆周率π、自然常数e 和√2 都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与1/7，5/7和2/5 非常接近， 也就是分别绕1，5和2 周就出现重叠，分别总共只有7，7 和5 个方向。 结论是，越是无理的无理数越好。 最无理的无理数，就是黄金数φ≈1.618。也就是说，n 的最佳值≈0.618， 即新芽的最佳旋转角度大约是360°×0.618≈222.5°或137.5°。 ============================================= 生活中能见到的植物常常有一种特殊的美感， 比如说向日葵的花盘，菠萝的外表皮以及枫叶的叶脉和叶子宽度的比例。 仔细观察就会发现其中处处蕴涵着一种特殊的关系，那就是黄金比例。 葵花籽在向日葵的花盘上呈相反的弧线状排列。 仔细观察，我们可以找到一些曲线， 通常顺时针旋转的有89 条，而逆时针方向的则有55 条。 也有的向日葵是55，34 或者144，89 的组合，这是由花盘的大小决定的。 如果我们把每一组的比值进行比较，就会发现他们越来越接近1.618， 大自然的鬼斧神工处处都留下了黄金分割的痕迹。 在植物中，像牡丹、月季、荷花、菊花等观赏性花卉含苞欲放时，起花蕾呈直的椭圆形，且长短轴的比例大致接近于黄金分割。 在有些植物的茎上，两张相邻的叶片的夹角是137°28′，这恰好是把圆周分成1：0.618 的两条半径的夹角。 据研究发现：这种角度对植物通风和采光效果最佳。螺旋形松果的排列与上类似。 葵花籽在花盘上呈相反的弧线状排列，相邻两圈之间的直径之比就是黄金数φ≈1.618。 向日葵花有89 个花辫，55 个朝一方，34个朝向另一方。 　　 又如花菜。如果你拿一颗花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线， 再数数螺旋线的数目，两组数字之比是不是也是黄金分割，例如顺时针5 条，逆时针8 条。 掰下一朵小花下来再仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了两条螺旋线，其数目之比也是黄金分割。 在植物中还有更多的黄金比例，这等待着我们的发现。 ------------------------------------------------ 4000年前,古埃及人把黄金分割用在大金字塔的建造上. 2300年前, 古希腊数学家欧几理德第一次用几何的方法给出黄金分割率的计算. 米开朗基罗、达.芬奇把黄金分割融会于他们的绘画与雕塑， 在贝多芬, 莫扎特, 巴赫的音乐里流动着黄金分割的完美和谐 （关于黄金分割的更多实例，可以参见附录里面搜集的各方面报道。）。 早在古希腊人们就注意到一个“神秘”数字。 ------------------------------------------------ 1.618 033 988 749 894 848 20.... 黃金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，即：1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1。 两个黄金数: 我们可以通过求解x2 + x –1 = 0方程直接获得两个黄金数 x = (sq(5)-1)/2 = 0.618…; x = -(sq(5)+1)/2=-1.618…。 实际上我们还可以通过求解 x2 – x –1 = 0 方程获得另外两个黄金数 x = -(sq(5)-1)/2; x = (sq(5)+1)/2。 可以将黄金数写成具有分形和自相似的特性的形式。 例如： (sq(5)-1)/2 = 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+…)))) = sq(1-sq(1-sq(1-sq(1-sq(1-…))))); (sq(5)+1)/2 = 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+…)))) = sq(1+sq(1+sq(1+sq(1+sq(1+…)))))。 四个白银数： 我们可以通过求解x2 + 2 x –1 = 0和x2 – 2x –1 = 0方程获得四个白银数： x = sq(2) – 1, x = sq(2) +1, x = - sq(2) + 1, x = - sq(2) - 1。 也可以将白银数写成具有分形和自相似的特性的形式。例如： sq(2)-1 = 1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+…)))) = sq(1-2sq(1-2sq(1-2sq(1-2sq(1-…))))); sq(2)+1 = 2 +1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+…)))) = sq(1+2sq(1+2sq(1+2sq(1+2sq(1+…)))))。 可以看出，黄金数比白银数美丽多了， 白金数sq(3) + 2 与它根本没法相比。 黄金数既是具有最高度对称性的数，又是最无理的无理数。 黄金数与自然的美密切相联，存在于我们生活的各个方面， 例如：黄金分割、黄金线段、黄金角、黄金矩形、黄金三角形、黄金椭圆、黄金螺旋、 五角星、正五边形、正二十面体、…… 著名的Fibonacci序列与黄金数是一对亲密的Twin孪生兄弟。