如何探訪病人

如何探訪病人 ●李國瑾 一 . 前言： 探訪病人是服事神的重要工作。主耶穌開始行道就探訪病人，醫好彼得的岳母。我們知道神憐憫病人，所以進行探訪前一定要尋求聖靈的帶領，才有成效。因此在工作開始前要靜心禱告。同時探訪的目標不僅是使病人得醫治，還要對未信的病人要傳福音，使其靈魂得救。 二 . 準備： 1.瞭解對象； 2.安排時間； 3.問明地址； 4.預防傳染； 5.言語溝通； 6.攜帶物品。 三 . 實施： 探訪病人時能做的事不外是慰問、禱告及簡單的服事。 禱告已有專課，這裡不再複述。 服事要視具體，有必要時，才幫助護士或家屬。 其餘的時間均是慰問。慰問的話很難多說，因為關係不熟。 這時探訪者就把聖經金句介紹給病人和在旁的家屬。 下面所附的經文可視對象情況選用。 附安慰病人的聖經經節： (一)病人通用的安慰金句： 1. 耶和華是我的力量，是我的盾牌，我心裡依靠祂就得幫助，所以我的心中歡樂，我必用詩歌頌贊祂。詩篇28 : 7 2. 耶和華我的神啊！我曾呼求你，你醫治了我。詩篇30 :2 3. 喜樂的心，乃是良藥；憂傷的靈，使骨枯乾。箴言17:22 4. 耶和華是我的牧者，我必不 至缺乏。祂使我躺臥在青草地上，領我在可安歇的水邊。祂使我的靈魂蘇醒。 為自己的名引導我走義路。我雖然經過死陰的幽谷，也不怕遭害，因為你與我同在；你的杖，你的竿，都安慰我。 我一生一世必有恩惠慈愛隨著我，我且要住在耶和華的殿中，直到永遠。詩篇23 :1-4,6 5. 所以我告訴你們，凡你們禱告祈求的，無論是什麽，只要信是得著的就必得著。 (二)對不同病情的金句： 1.年老病人: 我的心哪，你要稱頌耶和華，不可忘記祂的一切恩惠!祂赦免了你的一切疾病。祂救贖你的命脫離死亡。 以仁愛和慈悲為你的冠冕。祂用美物使所愿的得以知足，以致你和鷹返老還童。詩篇103 : 2-5 2 心臟病人: 我的肉體和我的心臟衰殘，但神是我心里的力量，又是我的福分，直到永遠。詩篇73:26 祂醫好傷心的人，裹好他們的傷處。詩篇147 :3 3.骨科病人 : 要敬畏耶和華，遠離惡事，這便是醫治你的肚臍，滋潤你的百骨。箴言 3 :7-8 良言如蜂房，使心覺甘甜，使骨得醫治。以賽亞書53 :5 4.虛弱病人: 我的恩典夠你用的，因為我的能力是在人的軟弱上顯得完全。哥林多後書12 :9 5.憂慮病人: 應當一無掛慮，只要凡事籍著禱告，祈求和感謝，將你們所要的告訴神。 神所賜出人意外的平安，必在耶穌基督裏，保守你們的心懷意念。腓立比書4:6-7 6,外傷病人: 因祂受的刑罰，我們得平安；因祂受的鞭傷，我們得醫治。以賽亞書53:5 7.動手術前: 你們所遇見的試探，無非是人所能受的。神是信實的，必不叫你們受試探過於所能受的。 在受試探的時候，總要給你們開一條出路，叫你們能忍受得住。哥林多前書10:13 8.復原病人: 我的心哪，你要仍歸安樂，因為耶和華用厚恩待你。主啊！你救我的命免了死亡，救我的眼免了流淚，救我的腳免了跌倒。詩篇116:7-8 但那等待耶和華的，必從新得力，他們必如鷹展翅上騰，他們奔跑卻不困倦，行走卻不疲乏。以賽亞書40:31 (三)病得醫治故事： 1.醫好攤子：馬太福音9.1-8 用於中風行動不便病人 2.患血漏女人：馬可福音5:25-34 用於婦科病人 3.趕出污鬼：馬可福音8:28-34 用於神經病患 4.醫好癲癇：馬可福音17:14-21 用於癲癇病人 5.醫好瞎眼：約翰福音9:1-14 用於眼科病人 6.腰病女人：路加福音13:10-13 用於肢體痼疾 7.患水臌病人：路加福音14:1-6 用於水腫病人 8.醫好麻風：路加福音17:12-19 用於麻風病人

林口長庚停車,機場捷運,

因為我也在林口長庚附近上班所以都停免費車位^^" 龜山鄉的文化一路和復興一路的交叉口往右邊復興二路方向過去大約200公尺就會看到文欣國小那邊都是沒有劃線可以免費停車 . 或是開車通過交流道到對面的林口的文化一路或文化二路去停車在停車格內 林口鄉路邊停車通通是免費喔 .只要走路約8分鐘 過一個橋樑就可以到達林口長庚醫院唷 不想走路還可以搭乘任何一班林口往桃園或台北的公車去 因為毎一班公車到了長庚醫院都會靠站停車哦 ------------------------------------------- 在『板橋公車站』搭乘 台北客運-705(三峽-台北)， 在『媽祖田站(過福高涵洞之後)』下車，一段票15元。行車時間約30分鐘。 下車之後，由環河道路對面的山坡路走上去，會先看到停車場，走到底就到了。 回程到捷運龍山寺站 Bus 9103 $15 板橋後站商圈 to 媽祖田站 $15 媽祖田站 to 萬華分局 --------------------------------------------- 機場捷運 每小時行駛6班車次，每小時可載運7600人。 票價:直達車160元、普通車80元

社會地位

社會地位分成兩種： 一個是承襲自父母，他（她）出生就擁有的地位，社會學上稱為「天賦地位」（ascribed status）； 另一種社會地位則是經由個人的才智與後天的努力而獲得的，稱為「獲得地位」（achieved status）。

不知恐惧为何物sheep never lost

不知恐惧为何物


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 一个牧羊人加一只牧羊犬，足以放牧数十只不守规矩的绵羊群，
牧羊犬如此高效的表现被称为「牧羊犬之谜」， 
科学家最近发现，可用两项简单法则解释牠们的工作方式，相关法则还可用于控制人群和清洗石油溅漏等，甚至可协助研发「牧羊犬机械人」。 
欧洲一个研究团队为一只牧羊犬和46只绵羊配备高度精准的全球定位系统（GPS），记录牠们的互动，分析牧羊犬工作的数学秘密。 
研究发现，牧羊犬工作的第一法则，是在绵羊群背后穿插，迫使牠们聚集。 参与研究的威尔斯史云斯大学生物学家安德鲁京（Andrew King）形容， 牧羊犬眼前基本上只看到白色和毛茸茸的一大团东西，如果牠看到羊群间有空隙，或空隙愈来愈大，便会逼迫羊群走到一起。 

当绵羊紧密聚集时，牧羊犬便会启用第二法则：带着羊群向前。 

瑞典乌普萨拉大学的施特伦博姆（Daniel Stroembom）说： 「在研究模型的每一步，都是牧羊犬决定羊群是否足够黏合……一旦羊群聚集，牧羊犬就会推着牠们往目标前进。」 一只牧羊犬可一次过控制这么多绵羊，与绵羊本身的聚集习性亦有很大关系。 研究模型显示，理论上牧羊犬可以同时控制超过100只或以上的羊群。 研究报告发表于Real Society Interface期刊。这项研究并不纯因好奇，而是有应用意义。

柏拉圖：群眾永遠生活在無知的洞穴中

柏拉圖：群眾永遠生活在無知的洞穴中 柏拉圖在他的重要著作《理想國》裡曾經有個非常重要的比喻——洞穴比喻。 故事是這樣講的：有一個洞穴式的地下室，一條長長的通道通向外面，有微弱的陽光從通道裡照進來。 有一些囚徒從小就住在洞穴中，頭頸和腿腳都被綁著，不能走動也不能轉頭，只能朝前看著洞穴後壁。 在他們背後的上方，遠遠燃燒著一個火炬。 在火炬和人的中間有一條隆起的道路，同時有一堵低牆。 在這堵牆的後面，向著火光的地方，又有些別的人。他們手中拿著各色各樣的假人或假獸，把它們高舉過牆，讓它們做出動作，這些人時而交談，時而又不做聲。於是，這些囚徒只能看見投射在他們面前的牆壁上的影像。他們將會把這些影像當做真實的東西，他們也會將迴聲當成影像所說的話。後來，有一個囚徒被解除了桎梏，被迫突然站起來，可以轉頭環視，他現在就可以看見事物本身了：但他們卻以為他現在看到的是非本質的夢幻，最初看見的影像才是真實的。後來又有人把他從洞穴中帶出來，走到陽光下面，他將會因為光線的刺激而覺得眼前金星亂迸，以致什麼也看不見。他就會恨那個把他帶到陽光之下的人，認為這人使他看不見真實事物，而且給他帶來了痛苦。 ----------------------- 對這個被解救出來的囚徒而言，看到外面的陽光真不知道是一件好事還是壞事。 他在一個黑暗（象徵虛幻、不真實）的環境里呆的時間太長了，以至於錯誤地認為那些虛幻的東西才是真實的，而對外面的陽光（象徵著真理）不適應，感到刺眼。 在這裡，柏拉圖用洞穴裡的囚徒來比喻群眾，對他們來說，真理是刺眼的，只能永遠生活在無知的洞穴裡！ 而只有仰望天空中不變的理念的哲學家們才能夠接近真理。 通過洞穴比喻，柏拉圖想傳達給我們的是這樣的信息： 我們所面對的只是現象，本質則是現象之外。 如果要認識本質，必須“轉向”——不是身體的轉向，而是“靈魂的轉向”， 柏拉圖的意思：我們不可能從現像中認識本質，要想認識本質（理念），必需靈魂的轉向： 從現象轉向理念。 因為在柏拉圖看來，現象就是現象，現像不可能是本質的“載體”，純潔的理念無論如何不可能存在於現象之中。 因此，柏拉圖的洞穴比喻試圖告訴我們的是： ①我們在日常生活中所看到的只是現象，事實的真相在另一個世界； ②要想認識事實的真相，必需靈魂的轉向——從現象轉向理念； ③現像是感覺經驗的對象，理念則是思想的對象。 這些就構成了西方哲學很長時間的基本觀念。 懷特海不無誇張地說，2000多年的西方哲學史，不過是給柏拉圖做註腳。 當然，柏拉圖的洞穴比喻在20世紀西方哲學那裡受到激烈的挑戰，因為它代表的是傳統哲學理性主義、本質主義的思路。 海德格對柏拉圖洞穴的分析很有意思。 海德格在《柏拉圖的真理學說》一文中全篇都在分析柏拉圖的洞穴比喻。 柏拉圖認為：現象＝假象；本質＝真相，在現象的背後！ 海德格則要把柏拉圖顛倒了的世界再顛倒過來，不過不是簡單地顛倒。 他認為：我們原本就生活在黑暗之中，為了尋找家園，我們點亮了蠟燭，追逐光明，但越來越執著於光明，忘了我們的家在黑暗之中。 結果，我們在光明中迷失了自己，最終導致的是“比一千個太陽還亮”的科技文明。 而海德格試圖再來一次“轉向”，他曾經引用老子的話：“知其白，守其黑”，而他的解釋是： “有死的人應該將自身淹沒在黑暗的源泉之中，以便在白天能夠看星星。”白天看星星。那是我們的家。

黃金數與x2 – x –1 = 0

數論學家很早就知道，最〔無理〕的無理數就是[黃金數]，它很難以有理數近似。 植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。 对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部； 对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传粉； 对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。 这一切，对植物的生长、繁殖都是大有好处的。 我们可以把这个角度写成360°×n，其中0＜n＜1，由于左右各有一个角度是一样的(转的方向不同)， 例如n=0.4 和n=0.6实际上结果相同，因此我们只需考虑0.5≤n＜1 的情况。 如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即n=0.5=1/2， 但是这样的话第2 个新芽与旧芽同方向， 第3个新芽与第1 个新芽同方向…… 也就是说，仅绕1 周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。 如果n=0.6=3/5呢？绕3 周就出现重叠，而且总共也只有5 个方向。 事实上，如果n是个真分数p/q，则意味着绕p 周就出现重叠，共有q个生长方向。 显然，如果n 是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。 选什么样的无理数呢？ 圆周率π、自然常数e 和√2 都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与1/7，5/7和2/5 非常接近， 也就是分别绕1，5和2 周就出现重叠，分别总共只有7，7 和5 个方向。 结论是，越是无理的无理数越好。 最无理的无理数，就是黄金数φ≈1.618。也就是说，n 的最佳值≈0.618， 即新芽的最佳旋转角度大约是360°×0.618≈222.5°或137.5°。 ============================================= 生活中能见到的植物常常有一种特殊的美感， 比如说向日葵的花盘，菠萝的外表皮以及枫叶的叶脉和叶子宽度的比例。 仔细观察就会发现其中处处蕴涵着一种特殊的关系，那就是黄金比例。 葵花籽在向日葵的花盘上呈相反的弧线状排列。 仔细观察，我们可以找到一些曲线， 通常顺时针旋转的有89 条，而逆时针方向的则有55 条。 也有的向日葵是55，34 或者144，89 的组合，这是由花盘的大小决定的。 如果我们把每一组的比值进行比较，就会发现他们越来越接近1.618， 大自然的鬼斧神工处处都留下了黄金分割的痕迹。 在植物中，像牡丹、月季、荷花、菊花等观赏性花卉含苞欲放时，起花蕾呈直的椭圆形，且长短轴的比例大致接近于黄金分割。 在有些植物的茎上，两张相邻的叶片的夹角是137°28′，这恰好是把圆周分成1：0.618 的两条半径的夹角。 据研究发现：这种角度对植物通风和采光效果最佳。螺旋形松果的排列与上类似。 葵花籽在花盘上呈相反的弧线状排列，相邻两圈之间的直径之比就是黄金数φ≈1.618。 向日葵花有89 个花辫，55 个朝一方，34个朝向另一方。 　　 又如花菜。如果你拿一颗花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线， 再数数螺旋线的数目，两组数字之比是不是也是黄金分割，例如顺时针5 条，逆时针8 条。 掰下一朵小花下来再仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了两条螺旋线，其数目之比也是黄金分割。 在植物中还有更多的黄金比例，这等待着我们的发现。 ------------------------------------------------ 4000年前,古埃及人把黄金分割用在大金字塔的建造上. 2300年前, 古希腊数学家欧几理德第一次用几何的方法给出黄金分割率的计算. 米开朗基罗、达.芬奇把黄金分割融会于他们的绘画与雕塑， 在贝多芬, 莫扎特, 巴赫的音乐里流动着黄金分割的完美和谐 （关于黄金分割的更多实例，可以参见附录里面搜集的各方面报道。）。 早在古希腊人们就注意到一个“神秘”数字。 ------------------------------------------------ 1.618 033 988 749 894 848 20.... 黃金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，即：1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1。 两个黄金数: 我们可以通过求解x2 + x –1 = 0方程直接获得两个黄金数 x = (sq(5)-1)/2 = 0.618…; x = -(sq(5)+1)/2=-1.618…。 实际上我们还可以通过求解 x2 – x –1 = 0 方程获得另外两个黄金数 x = -(sq(5)-1)/2; x = (sq(5)+1)/2。 可以将黄金数写成具有分形和自相似的特性的形式。 例如： (sq(5)-1)/2 = 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+…)))) = sq(1-sq(1-sq(1-sq(1-sq(1-…))))); (sq(5)+1)/2 = 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+…)))) = sq(1+sq(1+sq(1+sq(1+sq(1+…)))))。 四个白银数： 我们可以通过求解x2 + 2 x –1 = 0和x2 – 2x –1 = 0方程获得四个白银数： x = sq(2) – 1, x = sq(2) +1, x = - sq(2) + 1, x = - sq(2) - 1。 也可以将白银数写成具有分形和自相似的特性的形式。例如： sq(2)-1 = 1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+…)))) = sq(1-2sq(1-2sq(1-2sq(1-2sq(1-…))))); sq(2)+1 = 2 +1/(2+1/(2+1/(2+1/(2+…)))) = sq(1+2sq(1+2sq(1+2sq(1+2sq(1+…)))))。 可以看出，黄金数比白银数美丽多了， 白金数sq(3) + 2 与它根本没法相比。 黄金数既是具有最高度对称性的数，又是最无理的无理数。 黄金数与自然的美密切相联，存在于我们生活的各个方面， 例如：黄金分割、黄金线段、黄金角、黄金矩形、黄金三角形、黄金椭圆、黄金螺旋、 五角星、正五边形、正二十面体、…… 著名的Fibonacci序列与黄金数是一对亲密的Twin孪生兄弟。

野地裡的百合花(lily鈴蘭)

野地裡的百合花，為何長的這麼美？ 上帝曾將自己比喻為「谷中的百合花」（the lily of the valley）（雅歌二1）。 這句應許，可能是上帝留給走在生命幽谷中的人。 多少時候，人以為道路順暢就是上帝同行的證明，飛黃騰達就是上帝眷顧的表徵； 但是上帝從來沒有說祂是平坦道路邊，或是宮殿花園裡的百合花。 反而說祂是留在谷中，鼓勵受傷、疲憊、失望者重新得力，繼續前行的百合花。 上帝所賜的裝扮 　　這是何等有意思的比喻，為什麼在跟隨上帝的路上，會有幽谷呢？走平順的通路不是更好嗎？ 但是我們愈認識上帝的創造，就愈認識山谷是世界上最美麗的地方。 而且許多一流的登山勇士，都是經過許多大小山谷，訓練出來的。 走過人生的低谷，似乎是上帝學校的必修課之一。不過走累了，上帝鼓舞我們繼續向前。 耶穌說：「你想野地裡的百合花，怎麼長起來，它不勞苦，也不紡線，然而我告訴們， 就是所羅門極榮華的時候，他所穿戴的，還不如這花一朵呢。」（馬太福音六28～29）。何等的安慰與鼓舞： 百合花的美，是上帝給的裝扮；所羅門王的富有，是人為的添加，在上帝的眼光中，後者不如前者。 第一個研究百合花之美的人 近代的科學，對百合花有許多的研究，在1869年，一位科學家亨瑞契（Gustarvis Hinrichs, 1836~1923） 以「野地的百合花」作為研究發表的論文。 有趣的是，他在這一篇研究報告，一開始就引用聖經寫道：「看啊，所羅門最榮耀的時候，他的榮耀還比不上這朵小花」。 然後，用數學去證明百合花的美。 亨瑞契是德國人，在學生時代就擅長數學，後來用數學分析物理、化學與生物的問題，這成為他的專長。 1860年，他取得丹麥的哥本哈根大學物理系博士，當時德國鐵血宰相俾斯麥的領導下，正將德國整合成一個強大的國家，而且四處打仗。 亨瑞契厭惡祖國成為好戰強國，深感在強權之下，百姓只有完全服從領導人的思考方式，完全沒有自己思考的空間。 1861年，他前往美國，沒想到美國打起南北戰爭，不久聽到一所剛成立的大學在徵聘教師。 前言 　　1847年，在美國東部的平原上，有幾個拓荒者，感謝上帝賜給他們豐收玉米的一年。 他們在橡樹下圍在一起禱告：「願主賜給我們智慧，給我們最好的教育──使孩子們成為對眾人有幫助的人。」 　　他們每一個人捐出美金5元，準備在這裡成立一所大學。 以後持續的捐款，1855年，終於通過申請，沒想到當年物價上漲，經費不足無法蓋校舍，只好暫時關閉。 直到1862年，在州政府的資助下，大學才開辦，徵聘教師。 從此，這所成立在一片農田中的大學，成為著名科學教育的所在，是許多學生嚮往的──愛荷華州立大學（The State University of Iowa）。 將自然科學引入農業區 　　亨瑞契成為這所大學的第一位老師。 他一上任就大刀闊斧的將大學第一棟教室的一樓，通通建為物理與化學實驗室。 他的口號是：「學生在實驗室裡學一天，超過在課本邊唸七天。」 　　他特別注重科學教育，自己也發表了許多傑出的研究報告。 例，在1864年，他提出化學元素之間有一道隱藏的關係，他用元素的原子量排出一個週期表， 他稱這是科學裡「八音部的旋律」（octuple rhythm）。 1868年，他以數學分析礦物結晶形狀，並且成立愛荷華州第一間的地質調查局，兼任局長； 1875年，他以數學分析氣象變化，又成立美國第一間氣象局，他又身兼局長。 高等教育的思維 　　亨瑞契不只在科學上有成就，對近代的大學教育也有深遠的影響。 他知道愛荷華州立大學是一群基督徒出錢成立的，也知道成立大學是來自對上帝的一個禱告。 但是他看到德國成立時追求一致性，以致產生少數人統御全民的想法。 他認為要培育美國菁英的一代，必須讓大學有多樣的文化與思想，讓學生去學習判斷、辯論思索，並據理力爭。 　　他聘非基督徒，聘猶太人、聘無神論的人作教授，1878年更聘女性教育家蘇羅（Phoebe Sudlow）作文學系教授。 蘇羅是美國第一位女性教授，而且她的薪水與新任的男教授相同。 他提出在一個真正有信仰的地方，就應接納不同信仰的人，或與沒有信仰的人相處。 而這相處、共事，不代表自己對信仰的妥協，反而是信心的挑戰。 他提出一個口號：「合作但不妥協」，他寫道：「我們很容易用傳統慣性思考，以致淪為僵化的思維。 智慧是來自思考的更新，不斷接受新思維的挑戰。」 大自然美的法則 他用眾人熟悉的百合花，以數學分析百合花花瓣是在正六角形的對角線上，並呈現60°的夾角。 而這角度與雪花的結構，稱雪花是「空中的百合花」。 他寫道：「隱藏的法則，明明寫在百合花的造型上，百合花的美使人接近，愈看愈美……大自然不祇悅人眼目， 即使在微小之處，仍有數不盡的豐富。」 花朵的奇妙設計 　　現在我們知道，光是百合花就有許多的奇妙之處。 例如百合花中含有一種化學成份，對於老人失智症可能有醫治的功效。 此外，每一朵百合花中約有1000顆的種子，百合花要依賴昆蟲與蜜蜂前來授粉，光是吸引昆蟲前來，百合花就有許多非常有趣的現象。 1.百合花會保持自己花的溫度，與採蜜昆蟲的體溫相同，約35℃，當花朵的溫度與昆蟲的體溫一致時，昆蟲在花朵採蜜時，不會特別冷，也不會特別熱。 2.百合花的花瓣能反射紫外光，讓遠處的昆蟲看見前來。 3.百合花的花裡，有蜜腺，吸引昆蟲前來採蜜，花粉就藉此黏在昆蟲身上。 4.百合花的蜜會自動水化掉，免得一隻昆蟲吸太多的蜜，反而減少不同花朵傳粉的功效，百合花又再分泌蜜，使不同隻的昆蟲又前來。 5.不同種的昆蟲受吸引的味道不同，不同種的百合花，所散發出來的香味，都稍有不同，沒有一種百合花會放出吸引所有昆蟲的香味，也沒有一種百合花放出來的香味，完全吸引不到一種昆蟲。 6.百合花上午剛開花的時候，花朵向下垂，讓帶著花粉的雄蕊儘量向前伸，使昆蟲容易看到；但是到了下午，昆蟲不採蜜的時候，花朵轉而朝上，使沾在柱頭上的花粉，順勢沿著花柱，進入子房，增加結實的機會。 　　何等的奇妙，一朵百合花竟然有這麼複雜的機制，使百合花的種子，一代一代的傳下去，而且傳到世界各處去。 耶穌說：「你們這小信的人哪！野地裏的草今天還在，明天就丟在爐裏，神還給它這樣的妝飾，何況你們呢！ 所以，不要憂慮說，吃甚麼？喝甚麼？穿甚麼？這都是外邦人所求的，你們需用的這一切東西，你們的天父是知道的。 你們要先求祂的國和祂的義，這些東西都要加給你們了。所以，不要為明天憂慮，因為明天自有明天的憂慮；一天的難處一天當就夠了。」 （馬太福音六30～34）。 ---------------------- 植物中的神秘数字 ·方舟子· 扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。 在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物， 据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。 在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。 在中国，梅花有着类似的象征意义。 民间传说梅花五瓣代表着五福。 民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。 但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花最常见的花瓣数目就是五枚， 例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。 常见的花瓣数还有： 3枚，鸢尾花、百合花（看上去6枚，实际上是两套3枚）； 8枚，飞燕草； 13枚，瓜叶菊； 向日葵的花瓣有的是21枚，有的是34枚； 雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。 为什么花瓣数目不是随机分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...这些数目有什么特殊吗？ 它们是斐波纳契数。斐波纳契（1170-1240）是中世纪意大利数学家，他不是在数花瓣数目， 而是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。 假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子， 过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。 每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？ 在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子； 在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子； 在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子； 在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子； ……如此这般计算下去，兔子对数分别是： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...看出规律了吗？ 从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。 植物似乎对斐波纳契数着了迷。 不仅花，还有叶、枝条、果实、种子等等形态特征，都可发现斐波纳契数。 叶序是指叶子在茎上的排列方式，最常见的是互生叶序，即在每个节上只生1叶，交互而生。 任意取一个叶子做为起点，向上用线连接各个叶子的着生点，可以发现这是一条螺旋线，盘旋而上， 直到上方另一片叶子的着生点恰好与起点叶的着生点重合，做为终点。 从起点叶到终点叶之间的螺旋线绕茎周数，称为叶序周。 不同种植物的叶序周可能不同，之间的叶数也可能不同。 例如 榆，叶序周为1（即绕茎1周），有2叶； 桑，叶序周为1，有3叶； 桃，叶序周为2，有5叶； 梨，叶序周为3，有8叶； 杏，叶序周为5，有13叶； 松，叶序周为8，有21叶…… 用公式表示（绕茎的周数为分子，叶数为分母），分别为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, …… 这些是最常见的叶序公式，据估计大约有90％植物属于这类叶序，而它们全都是由斐波纳契数组成的。 你如果观察向日葵的花盘，会发现其种子排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。 再数数这些螺旋线的数目，虽然不同品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是34和55、55和89或89和144， 其中前一个数字是顺时针线数，后一个数字是逆时针线数， 而每组数字都是斐波纳契数列中相邻的两个数。 再看看菠萝、松果上的鳞片排列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是8和13。 有时候这种螺旋线不是那么明显，需要仔细观察才会注意到，例如花菜。 如果你拿一颗花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋线， 再数数螺旋线的数目，是不是也是相邻的两个斐波纳契数， 例如顺时针5条，逆时针8条？ 掰下一朵小花下来再仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成了两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。 为什么植物如此偏爱斐波纳契数？ 这和另一个更古老的、早在古希腊就被人们注意到甚至去崇拜它的另外一个“神秘”数字有关。 假定有一个数φ，它有如下有趣的数学关系： φ^2 - φ^1 -φ^0 =0 即： φ^2 -φ -1 =0 解这个方程，有两个解： (1 + √5) / 2 = 1.6180339887... (1 - √5) / 2 = - 0.6180339887... 注意这两个数的小数部分是完全相同的。 正数解（1.6180339887...）被称为黄金数或黄金比率，通常用φ表示。 黃金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，即：1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1。 这是一个无理数（小数无限不循环，没法用分数来表示），而且是最无理的无理数。 同样是无理数，圆周率π用22/7，自然常数e用19/7, √2用7/5就可以很精确地近似表示出来， 而φ则不可能用分母为个位数的分数做精确的有理近似。 黄金数有一些奇妙的数学性质。 它的倒数恰好等于它的小数部分，也即1/φ = φ-1，有时这个倒数也被称为黄金数、黄金比率。 如果把一条直线AB用C点分割，让AB/AC = AC/CB，那么这个比等于黄金数，C点被称为黄金分割点。 如果一个等腰三角形的顶角是36度，那么它的高与底线的比等于黄金数，这样的三角形称为黄金三角形。 如果一个矩形的长宽比是黄金数，那么从这个矩形切割掉一个边长为其宽的正方形，剩下的小矩形的长宽比还是黄金数。 这样的矩形称为黄金矩形，它可以用上述的方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩形， 而如果把这些黄金矩形的对角用弧线连接起来，则形成了一个对数曲线。 常见的报纸、杂志、书、纸张、身份证、信用卡用的形状都接近于黄金矩形，据说这种形状让人看上去很舒服。 的确，在我们的生活中，黄金数无处不在，建筑、艺术品、日常用品在设计上都喜欢用到它，因为它让我们感到美与和谐。 那么黄金数究竟和斐波纳契数有什么关系呢？ 根据上面的方程：φ^2 -φ -1 =0，可得： φ = 1 + 1/φ = 1 + 1/ (1 + 1/φ) = ... = 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +...))) 根据上面的公式，你可以用计算器如此计算φ： 输入1，取倒数，加1，和取倒数，加1，和取倒数，……，你会发现总和越来越接近φ。 让我们用分数和小数来表示上面的逼近步骤： φ ≈ 1 φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2 φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 1.5 φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+1)) = 5/3 = 1.666667 φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/5 = 1.6 φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1.625 φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+1))))) = 21/13 = 1.615385 φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1)))))) = 34/21 = 1.619048 φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1))))))) = 55/34 = 1.617647 φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))) = 89/55 = 1.618182 ... 发现了没有？以上分数的分子、分母都是相邻的斐波纳契数。 原来相邻两个斐波纳契数的比近似等于φ，数目越大，则越接近，当无穷大时，其比就等于φ。 斐波纳契数与黄金数是密切联系在一起的。 植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金数。 这是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想让世界充满了美与和谐？ 植物的枝条、叶子和花瓣有相同的起源，都是从茎尖的分生组织依次出芽、分化而来的。 新芽生长的方向与前面一个芽的方向不同，旋转了一个固定的角度。 如果要充分地利用生长空间，新芽的生长方向应该与旧芽离得尽可能的远。 那么这个最佳角度是多少呢？ 我们可以把这个角度写成360°× n，其中0＜n ＜1，由于左右 各有一个角度是一样的（只是旋转的方向不同），例如n=0.4和n=0.6实际上结果相 同，因此我们只需考虑 0.5≤n＜1的情况。 如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即n = 0.5 =1/2， 但是这样的话第2个新芽与旧芽同方向，第3个新芽与第1个新芽同方向，……， 也就是说，仅绕1周就出现了重叠，而且总共只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。 如果0.6 = 3/5 呢？绕3周就出现重叠，而且总共也只有5个方向。 事实上，如果n是个真分数 p/q，则意味着绕p周就出现重叠，共有q个生长方向。 显然，如果n是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。 选什么样的无理数呢？ 圆周率π、自然常数e和√2都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与1/7, 5/7和2/5非常接近， 也就是分别绕1, 5和2周就出现重叠，分别总共只有7, 7和5个方向。 结论是，越是无理的无理数越好，越“有理”。 我们在前面已经提到，最无理的无理数，就是黄金数φ≈1.618。 也就是说，n的最佳值≈0.618，即新芽的最佳旋转角度大约是360°× 0.618 ≈ 222.5°或 137.5°。 前面已提到，最常见的叶序为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21，表示的是相邻两叶所成的角度（称为开度）， 如果我们要把它们换算成n（表示每片叶子最多绕多少周），只需用1减去开度，为1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21。 它们是相邻两个斐波纳契数的比值，是不同程度地逼近1/φ。 在这种情形下，植物的芽可以有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。 对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部； 对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传粉； 而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。 这一切，对植物的生长、繁殖都是大有好处的。 可见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。 -------------------------------------------